Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，，，且，.

（1）證明：.

（2）若，試在棱上確定一點，使與平面所成角的正弦值為.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）點為棱的中點

【解析】

（1）在同一平面內用數據說話證明 ，利用平面，證明，

從而得證平面，得到.

（1）取的中點，以為坐標原點建立空間直角坐標系，使用空間向量求及平面的一個法向量，利用夾角公式求解即可.

（1）證明：∵，且，∴，

∴，又∵，∴，即.

∵平面，平面，∴，

又∵，∴平面，

∵平面，∴.

（2）解：取的中點，以為坐標原點，，，所在的直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系.如圖所示.

設，則，，，，，

則，，，

設，

則.

由（1）可知，平面，∴為平面的一個法向量.

設與平面所成的角為.

則，

整理得，解得或（舍），

∴點為棱的中點.