Question

【題目】對于函數，若在其定義域內存在實數，使得成立，則稱有“※點”。

（1）判斷函數在上是否有“※點”。并說明理由；

（2）若函數在上有“※點”，求正實數a的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）令，利用零點存在定理，判斷端點處的函數值是否異號即可；

（2）若函數在（0，+∞）上有“※點”，只需方程在該區間上有實根，然后將對數方程化為二次方程，借助于二次函數的性質可以解決．

（1）由題意知，令，則為g（x）的零點，因為，所以，由零點存在定理可知，函數在區間上至少有1個實根，即至少有1個實根，

所以函數在上有“※點”。

（2）若函數在上有“※點”，則存在實數，使得成立，即，

整理得，。

當a=2時，，不合題意

當時，令，則在上有零點。

當時，開口向下，對稱軸，在上單調遞減，，

所以在上恒小于零，不合題意，當時，開口向上，對稱軸，

由題意只要，即，解得。因為，所以.綜上所述：。