Question

已知x=1是函數(shù)f（x）=mx³-3（m+1）x²+nx+1的一個(gè)極值點(diǎn)，其中m，n∈R，m＜0．
（I）求m與n的關(guān)系表達(dá)式；
（II）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（I）由x=1是函數(shù)f（x）=mx³-3（m+1）x²+nx+1的一個(gè)極值點(diǎn)，求導(dǎo)，則f′（1）=0，求得m與n的關(guān)系表達(dá)式；
（II）根據(jù)（I），代入f（x）中，求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)f′（x）＞0，求得單調(diào)增區(qū)間，令f′（x）＜0，求得單調(diào)減區(qū)間．

解答：解：（I）f′（x）=3mx²-6（m+1）x+n，
因?yàn)閤=1是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，
所以f′（1）=0，即3m-6（m+1）+n=0，所以n=3m+6．
（II）由（I）知，
f′(x)=3mx2-6(m+1)x+3m+6=3m(x-1)[x-(1+

2

m

)]．
當(dāng)m＜0時(shí)，有1＞1+

2

m

，當(dāng)x變化時(shí)，f（x）與f'（x）的變化如下表：

x	(-∞，1+ 2 m )	1+ 2 m	(1+ 2 m ，1)	1	（1，+∞）
f′（x）	＜0	0	＞0	0	＜0
f（x）	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

由上表知，當(dāng)m＜0時(shí)，f（x）在(-∞，1+

2

m

)單調(diào)遞減，
在(1+

2

m

，1)單調(diào)遞增，（1+∞）單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng)：考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值問(wèn)題，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間實(shí)質(zhì)是解不等式，屬中檔題．