Question

13．已知離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$的橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）過點P（-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線AB：y=k（x+1）交橢圓C于A、B兩點，交直線l：x=m于點M，設直線PA、PB、PM的斜率依次為k₁、k₂、k₃，問是否存在實數t，使得k₁+k₂=tk₃？若存在，求出實數t的值以及直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率公式，將P代橢圓方程，即可求得a和b的值，即可求得橢圓方程；
（2）將直線l代入橢圓方程，利用韋達定理及直線的斜率公式，求得k₁+k₂及k₃，假設存在實數t，使得k₁+k₂=tk₃，代入即可求得t和m的值．

解答 解：（1）由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則a=$\sqrt{2}$c，
b²=a²-c²=c²，將P代橢圓方程：$\frac{{x}^{2}}{2{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{c}^{2}}=1$，則$\frac{1}{2{c}^{2}}+\frac{1}{2{c}^{2}}=1$，解得：c=1，
則a=$\sqrt{2}$，b=1，
∴橢圓的方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）由題意可知：k顯然存在且不為0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），y₁=k（x₁+1），y₂=k（x₂+1），
則$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
x₁+x₂=-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
當x=m時，y=k（m+1），
則k₁=$\frac{{y}_{1}-\frac{\sqrt{2}}{2}}{{x}_{1}+1}$，k₂=$\frac{{y}_{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}}{{x}_{2}+1}$，則k₃=$\frac{k（m+1）-\frac{\sqrt{2}}{2}}{m+1}$，
則k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}-\frac{\sqrt{2}}{2}}{{x}_{1}+1}$+$\frac{{y}_{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}}{{x}_{2}+1}$=$\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}+（2k-\frac{\sqrt{2}}{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）+2k-\sqrt{2}}{{x}_{1}{x}_{2}+（{x}_{1}+{x}_{2}）+1}$=$\frac{2k×\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}+（2k-\frac{\sqrt{2}}{2}）（-\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}）+2k-\sqrt{2}}{-\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}+\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}+1}$=2k+$\sqrt{2}$，
由k₁+k₂=tk₃，2k+$\sqrt{2}$=t×$\frac{k（m+1）-\frac{\sqrt{2}}{2}}{m+1}$=tk-$\frac{\sqrt{2}t}{2（m+1）}$，則當t=2，m=-2，
∴當直線l：x=-2，存在實數t=2，使得k₁+k₂=tk₃成立．

點評 本題考查橢圓的方程和性質，考查直線和橢圓方程聯立，運用韋達定理，直線的斜率公式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．