Question

如圖所示，已知在圓錐SO中，底面半徑r＝1，母線長l＝4，M為母線SA上的一個點，且SM＝x，從點M拉一根繩子，圍繞圓錐側面轉到點A，求：

(1)設f(x)為繩子最短長度的平方，求f(x)表達式；

(2)繩子最短時，頂點到繩子的最短距離；

(3)f(x)的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（1）f(x)＝AM²＝x²＋16(0≤x≤4)（2）（3）32

【解析】

試題分析：將圓錐的側面沿SA展開在平面上，如圖，則該展開圖為扇形，且弧AA′的長度L就是⊙O的周長，

∴L＝2πr＝2π.∴∠ASA′＝×360°＝×360°＝90°，

(1)由題意知，繩長的最小值為展開圖中的AM，其值為AM＝ (0≤x≤4)，

∴f(x)＝AM²＝x²＋16(0≤x≤4)．

(2)繩子最短時，在展開圖中作SR⊥AM，垂足為R，則SR的長度為頂點S到繩子的最短距離．在△SAM中，∵S_△SAM＝SA·SM＝AM· SR，

∴SR＝＝ (0≤x≤4)．

(3)∵f(x)＝x²＋16(0≤x≤4)是增函數，∴f(x)的最大值為f(4)＝32.

考點：本小題主要考查扇形的弧長、面積公式等的應用，考查學生的運算求解能力.

點評：解決此類問題的關鍵是正確轉化，將所要求解的問題轉化為熟悉的數學問題進行解決.