Question

（本題滿分16分）

已知函數，且）．

（1）討論函數的單調性；

（2）若，關于的方程有唯一解，求的值；

（3）當時，證明: 對一切，都有成立．

Answer 1

解：（1）∵，將n=1代入已知等式得，

             同法可得， 。        

      （2）∵，，，，

∴由此猜想 。

           下面用數學歸納法證明。

       ① 當n=1和2時猜想成立；  

       ②假設當n=k（k≥2）時猜想成立，即，

        那么，當n=k+1時，因為，

        所以=(k+1)(2k+3)

        這就是說當n=k+1時猜想也成立。因此成立

      （3）假設存在常數c使數列成等差數列，則有

          把，，代入得 。

         當時，數列即為{2n+1}是公差為2的等差數列；

         當時，數列即為{2n}是公差為2的等差數列。

 ∴存在常數使數列成等差數列。