Question

已知橢圓的左、右兩個頂點分別為A，B，直線x=t（-2＜t＜2）與橢圓相交于M，N兩點，經過三點A，M，N的圓與經過三點B，M，N的圓分別記為圓C₁與圓C₂．
（1）求證：無論t如何變化，圓C₁與圓C₂的圓心距是定值；
（2）當t變化時，求圓C₁與圓C₂的面積的和S的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設知A的坐標（-2，0），B的坐標（2，0），M的坐標，N的坐標，線段AM的中點P，由此能夠推導出無論t如何變化，為圓C₁與圓C₂的圓心距是定值．
（2）圓C₁的半徑為|AC₁|=，圓C₂的半徑為，則（-2＜t＜2）
由此能夠求出圓C₁與圓C₂的面積的和S的最小值．
解答：解：（1）易得A的坐標（-2，0），B的坐標（2，0），
M的坐標，N的坐標，線段AM的中點P，
直線AM的斜率（3分）
又PC₁⊥AM，∴直線PC₁的斜率
∴直線PC₁的方程，∴C₁的坐標為
同理C₂的坐標為（7分）∴，
即無論t如何變化，為圓C₁與圓C₂的圓心距是定值．（9分）
（2）圓C₁的半徑為|AC₁|=，圓C₂的半徑為，
則（-2＜t＜2）
顯然t=0時，S最小，．（14分）
點評：本題考查圓錐曲線和直線的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答．