Question

已知f（x）=3^x且f（a+2）=18，g（x）=3^ax-4^x的定義域?yàn)閇0，1]．
（1）求g（x）的解析式；
（2）求g（x）的值域．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=3^x，∴f（a+2）=3^a+2=18，解之得3^a=2
∴g（x）=3^ax-4^x=（3^a）^x-4^x=2^x-4^x，即得g（x）=2^x-4^x；
（2）令t=2^x，由題意x∈[0，1]得t∈[1，2]
∴g（x）=t-t²=-（t-）²+=F（t）
∵二次函數(shù)F（t）=-（t-）²+在[1，2]上是關(guān)于t的減函數(shù)
∴當(dāng)t=1時(shí)，F(xiàn)（t）最大值為0；當(dāng)t=2時(shí)，F(xiàn)（t）最小值為-2
由此可得g（x）的值域y∈[-2，0]．
分析：（1）根據(jù)f（x）的表達(dá)式解方程f（a+2）=18，可得3^a=2，將其代入g（x）的式子并結(jié)合冪的運(yùn)算法則即可得到g（x）的解析式；
（2）設(shè)t=2^x，得t∈[1，2]，從而g（x）=t-t²，再根據(jù)F（t）=t-t²的單調(diào)性加以討論，即可得到g（x）的最大、最小值，從而得到函數(shù)g（x）的值域．
點(diǎn)評(píng)：本題給出含有指數(shù)式的“類二次”函數(shù)，求函數(shù)的值域，著重考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)和函數(shù)解析式的求法等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．