Question

已知f（x）=3^x且f（a+2）=18，g（x）=3^ax-4^x的定義域為[0，1]．
（1）求g（x）的解析式；
（2）求g（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）根據f（x）的表達式解方程f（a+2）=18，可得3^a=2，將其代入g（x）的式子并結合冪的運算法則即可得到g（x）的解析式；
（2）設t=2^x，得t∈[1，2]，從而g（x）=t-t²，再根據F（t）=t-t²的單調性加以討論，即可得到g（x）的最大、最小值，從而得到函數g（x）的值域．

解答：解：（1）∵f（x）=3^x，∴f（a+2）=3^a+2=18，解之得3^a=2
∴g（x）=3^ax-4^x=（3^a）^x-4^x=2^x-4^x，即得g（x）=2^x-4^x；
（2）令t=2^x，由題意x∈[0，1]得t∈[1，2]
∴g（x）=t-t²=-（t-

1

2

）²+

1

4

=F（t）
∵二次函數F（t）=-（t-

1

2

）²+

1

4

在[1，2]上是關于t的減函數
∴當t=1時，F（t）最大值為0；當t=2時，F（t）最小值為-2
由此可得g（x）的值域y∈[-2，0]．

點評：本題給出含有指數式的“類二次”函數，求函數的值域，著重考查了二次函數的圖象與性質和函數解析式的求法等知識，屬于基礎題．