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【題目】已知函數.

1)若對時,不等式恒成立,求實數a的取值范圍(e為自然對數的底數);

2)當時,求函數的極大值;

3)求證:當時,曲線與直線有且僅有一個公共點.

【答案】1203)見解析

【解析】

1)因為,所以不等式,構造函數,即上單調遞增,所以恒成立,參變分離即可求出參數的取值范圍;

2)當時,,求出函數的導數即可得到函數的單調性,從而得到函數的極值;

(3)令,利用導數證明函數的零點個數,即可得證.

解:(1)因為

所以不等式恒成立等價于.

,因為時,不等式恒成立,

所以函數上單調遞增,

所以恒成立,

恒成立,而

所以,即

所以實數a的取值范圍為.

2)當時,

),

恒成立,

所以函數上單調遞減,

又因為

所以在,在

所以函數上單調遞增,在上單調遞減,

所以函數的極大值為.

3)令

因為

所以恒成立,

所以函數上單調遞增,

因為

所以

因為函數上有且僅有一個零點,

所以當時,曲線與直線有且只有一個公共點.

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