【題目】已知函數,
.
(1)若對時,不等式
恒成立,求實數a的取值范圍(e為自然對數的底數);
(2)當時,求函數
的極大值;
(3)求證:當時,曲線
與直線
有且僅有一個公共點.
【答案】(1)(2)0(3)見解析
【解析】
(1)因為,
,所以不等式
,構造函數
,即
在
上單調遞增,所以
在
恒成立,參變分離即可求出參數的取值范圍;
(2)當時,
,求出函數的導數即可得到函數的單調性,從而得到函數的極值;
(3)令,利用導數證明函數的零點個數,即可得證.
解:(1)因為,
,
所以不等式恒成立等價于
.
令,因為
時,不等式
恒成立,
所以函數在
上單調遞增,
所以在
恒成立,
即在
恒成立,而
,
所以,即
,
所以實數a的取值范圍為.
(2)當時,
,
則(
),
令,
恒成立,
所以函數在
上單調遞減,
又因為,
所以在上
,在
上
,
所以函數在
上單調遞增,在
上單調遞減,
所以函數的極大值為
.
(3)令,
則
因為,
,
所以恒成立,
所以函數在
上單調遞增,
而,
,
因為,
,
,
所以,
因為函數在
上有且僅有一個零點,
所以當時,曲線
與直線
有且只有一個公共點.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的短軸兩端點與左焦點圍成的三角形面積為3,短軸兩端點與長軸一端點圍成的三角形面積為2,設橢圓
的左、右頂點分別為
是橢圓
上除
兩點外一動點.
(1)求橢圓的方程;
(2)過橢圓的左焦點作平行于直線
(
是坐標原點)的直線
,
與曲線
交于
兩點,點
關于原點
的對稱點為
,求證:
成等比數列.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】設橢圓的離心率為
,左、右焦點分別為
,點D在橢圓C上,
的周長為
.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)過圓上任意一點P作圓E的切線l,若l與橢圓C交于A,B兩點,O為坐標原點,求證:
為定值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知是橢圓
與拋物線
的一個公共點,且橢圓與拋物線具有一個相同的焦點
.
(1)求橢圓及拋物線
的方程;
(2)設過且互相垂直的兩動直線
,
與橢圓
交于
兩點,
與拋物線
交于
兩點,求四邊形
面積的最小值
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,曲線
的參數方程為
(
為參數).以坐標原點為極點,
軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線
的極坐標方程為
(1)在曲線上任取一點
,連接
,在射線
上取一點
,使
,求
點軌跡的極坐標方程;
(2)在曲線上任取一點
,在曲線
上任取一點
,求
的最小值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在棱長均相等的四棱錐中,
為底面正方形的中心,
,
分別為側棱
,
的中點,有下列結論正確的有:( )
A.∥平面
B.平面
∥平面
C.直線與直線
所成角的大小為
D.
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