Question

某班級舉行一次知識競賽活動，活動分為初賽和決賽兩個階段、現將初賽答卷成績（得分均為整數，滿分為100分）進行統計，制成如下頻率分布表．

（1）填充頻率分布表中的空格（在解答中直接寫出對應空格序號的答案）；
（2）決賽規則如下：參加決賽的每位同學依次口答4道小題，答對2道題就終止答題，并獲得一等獎．如果前三道題都答錯，就不再答第四題．某同學進入決賽，每道題答對的概率P的值恰好與頻率分布表中不少于80分的頻率的值相同．
①求該同學恰好答滿4道題而獲得一等獎的概率；
②記該同學決賽中答題個數為X，求X的分布列及數學期望．

Answer 1

解：（1）根據樣本容量，頻率和頻數之間的關系得到①0.16×50=8②=0.44
③50-8-22-14=6④=0.12
（2）由（1）得，p=0.4，
①該同學恰好答滿4道題而獲得一等獎，即前3道題中剛好答對1道，
第4道也能夠答對才獲得一等獎，
則有C₃¹×0.4×0.6²×0.4=0.1728．
②答對2道題就終止答題，并獲得一等獎，
∴該同學答題個數為2、3、4．
即X=2、3、4，
P（X=2）=0.4²=0.16，
P（X=3）=C₂¹0.4×0.6×0.4+0.6³=0.408，
P（X=4）=C₃¹0.4×0.6²=0.432，
∴分布列為：

∴EX=2×0.16+3×0.408+4×0.432=3.272．
分析：（1）根據樣本容量，頻率和頻數之間的關系得到要求的幾個數據，注意第三個數據是用樣本容量減去其他三個數得到．
（2）①該同學恰好答滿4道題而獲得一等獎，即前3道題中剛好答對1道，第4道也能夠答對才獲得一等獎，根據相互獨立事件的概率公式得到結果．
②答對2道題就終止答題，并獲得一等獎，所以該同學答題個數為2、3、4．即X=2、3、4，結合變量對應的概率，寫出分布列和期望．
點評：本小題考查頻率、頻數和樣本容量之間的關系，考查離散型隨機變量的隨機變量的分布列及數學期望，是一個綜合題．