Question

已知函數f（x）=（

3

sinωx+cosωx）cosωx-

1

2

（ω＞0）最小正周期為4π
（1）求f（x）的單調遞增區間
（2）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，滿足（2a-c）cosB=bcosC，求函數f（2C）的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角的三角函數公式和輔助角公式化簡得f（x）=sin（2ωx+

π

6

），由最小正周期為4π解出ω=

1

4

，從而得到函數f（x）的表達式，利用單調區間的公式解關于x的不等式即可得出f（x）的單調遞增區間；
（2）利用正弦定理將（2a-c）cosB=bcosC化簡，結合三角形內角和定理與正弦的誘導公式算出cosB=

1

2

，得B=

π

3

．從而得到f（2C）=sin（C+

π

6

）的定義域為（0，

2π

3

），利用正弦函數的圖象與性質即可求出f（2C）的取值范圍．

解答：解：（1）根據題意，可得
f（x）=（

3

sinωx+cosωx）cosωx-

1

2

=

3

sinωxcosωx+cos²ωx-

1

2

=

3

2

sin2ωx+

1

2

（1+cos2ωx）-

1

2

=

3

2

sin2ωx+

1

2

cos2ωx=sin（2ωx+

π

6

）
∵ω＞0，f（x）的最小正周期為4π，
∴

2π

2ω

=4π，解之得ω=

1

4

，得f（x）=sin（

1

2

x+

π

6

）．
設-

π

2

+2kπ≤

1

2

x+

π

6

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），可得-

4π

3

+4kπ≤x≤

4π

3

+4kπ（k∈Z）
∴f（x）的單調遞增區間為[-

4π

3

+4kπ，

4π

3

+4kπ]（k∈Z）；
（2）∵（2a-c）cosB=bcosC，
∴根據正弦定理，得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
即2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）
∵△ABC中，B+C=π-A，可得sin（B+C）=sin（π-A）=sinA＞0
∴上式化簡為2sinAcosB=sinA，得2cosB=1，即cosB=

1

2

∵B是三角形的內角，∴B=

π

3

∵f（2C）=sin（C+

π

6

），C∈（0，

2π

3

）
∴當C=

π

3

時，f（2C）有最大值為1，而f（2C）的最小值大于sin（

2π

3

+

π

6

）=

1

2

因此，可得f（2C）的取值范圍是（

1

2

，1]．

點評：本題著重考查了二倍角公式、輔助角公式、誘導公式、三角函數的圖象與性質和正弦定理等知識，屬于中檔題．