Question

記

n

1 a1 + 1 a2 +…+ 1 an

為數列{a_n}的調和平均值，S_n為自然數列{n}的前n項和，若H_n為數列{S_n}的調和平均值，則

lim

n→∞

Hn

n

=

 

．

Answer 1

考點：數列的極限,數列的求和

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：求出S_n為自然數列{n}的前n項和，利用已知條件求出H_n的表達式，然后求解極限即可．

解答： 解：S_n為自然數列{n}的前n項和，所以S_n=

n(n+1)

2

，
∵

n

1 a1 + 1 a2 +…+ 1 an

為數列{a_n}的調和平均值，
∴H_n為數列{S_n}的調和平均值，H_n=

n

1 S1 + 1 S2 +…+ 1 Sn

=

n

2 1×2 + 2 2×3 +…+ 2 n(n+)

=

n

2(1- 1 2 + 1 2 - 1 3 +…+ 1 n - 1 n+1 )

=

n

2(1- 1 n+1 )

=

n+1

2

，
∴

lim

n→∞

Hn

n

=

lim

n→∞

n+1

2n

=

1

2

．
故答案為：

1

2

．

點評：本題考查數列的求和，數列的極限的運算法則的應用，考查計算能力以及轉化思想的應用．