Question

某聯歡晚會舉行抽獎活動，舉辦方設置了甲、乙兩種抽獎方案，方案甲的中獎率為，中獎可以獲得2分；方案乙的中獎率為，中獎可以獲得3分；未中獎則不得分．每人有且只有一次抽獎機會，每次抽獎中獎與否互不影響，晚會結束后憑分數兌換獎品．
（1）若小明選擇方案甲抽獎，小紅選擇方案乙抽獎，記他們的累計得分為x，求x≤3的概率；
（2）若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進行抽獎，問：他們選擇何種方案抽獎，累計得分的數學期望較大？

Answer 1

【答案】分析：（1）記“他們的累計得分X≤3”的事事件為A，則事件A的對立事件是“X=5”，由題意知，小明中獎的概率為，小紅中獎的概率為，且兩人抽獎中獎與否互不影響，先根據相互獨立事件的乘法公式求出對立事件的概率，再利用對立事件的概率公式即可求出他們的累計得分x≤3的概率．
（2）設小明、小紅兩人都選擇甲方案抽獎中獎次數為X₁，甲小明、小紅兩人都選擇方案乙抽獎中獎次數為X₂，則這兩人都選擇甲方案抽獎累計得分的數學期望為E（2X₁），都選擇乙方案抽獎累計得分的數學期望為E（3X₂）．根據題意知X₁～B（2，），X₂～B（2，），利用貝努利概率的期望公式計算即可得出E（2X₁）＞E（3X₂），從而得出答案．
解答：解：（1）由題意知，小明中獎的概率為，小紅中獎的概率為，且兩人抽獎中獎與否互不影響，
記“他們的累計得分X≤3”的事事件為A，則事件A的對立事件是“X=5”，
因為P（X=5）=，∴P（A）=1-P（X=5）=；
即他們的累計得分x≤3的概率為．
（2）設小明、小紅兩人都選擇甲方案抽獎中獎次數為X₁，
甲小明、小紅兩人都選擇方案乙抽獎中獎次數為X₂，則這兩人都選擇甲方案抽獎累計得分的數學期望為E（2X₁）
都選擇乙方案抽獎累計得分的數學期望為E（3X₂）
由已知可得，X₁～B（2，），X₂～B（2，），
∴E（X₁）=2×=，E（X₂）=2×=，
從而E（2X₁）=2E（X₁）=，E（3X₂）=3E（X₂）=，
由于E（2X₁）＞E（3X₂），
∴他們選擇甲方案抽獎，累計得分的數學期望較大．
點評：本題考查利用概率知識解決實際問題，考查分類討論的數學思想，考查數學期望的計算，確定X服從的分布是解題的關鍵．