Question

已知點A（a，a），B（a+1，a+1），動點P到點M（1，0）的距離比到x=-2的距離小1的軌跡為曲線C，且線段AB與曲線C有且僅有一個交點，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由題意有可得點P軌跡為曲線C：y²=4x．過A，B的線段方程為：y=x（a≤x≤a+1），由線段與拋物線有公共點?

y=x y2=4x

在x∈[a，a+1]有解?x²-4x=0在x∈[a，a+1]上有解，根據方程根的分布可求．

解答： 解：由題意，動點P到點M（1，0）的距離比到x=-2的距離小1，故其軌跡為曲線C：y²=4x．
過A，B的線段方程為：y=x（a≤x≤a+1）
由線段與拋物線有公共點?

y=x y2=4x

在x∈[a，a+1]有解?x²-4x=0在x∈[a，a+1]上有解，
∴a≤0≤a+1或a≤4≤a+1
∴-1≤a≤0或3≤a≤4，
故答案為[-1，0]∪[3，4]．

點評：本題主要考查了拋物線的定義的應用，及直線與拋物線的位置關系的應用，體現了函數與方程的相互轉化的思想在解題中的應用．