Question

設橢圓M：(a＞b＞0)的離心率為，長軸長為，設過右焦點F傾斜角為的直線交橢圓M于A，B兩點。

    （Ⅰ）求橢圓M的方程；

（2）設過右焦點F且與直線AB垂直的直線交橢圓M于C，D，求|AB| + |CD|的最小

值。

 

Answer 1

【答案】

（1）橢圓M的方程為

（2）當且僅當sin2=1時，|AB|+|CD|有最小值是

【解析】解：（Ⅰ）所求橢圓M的方程為…3分

    （Ⅱ）當≠，設直線AB的斜率為k = tan，焦點F ( 3 , 0 )，則直線AB的方程為 y = k ( x – 3 )        有( 1 + 2k² )x² – 12k²x + 18( k² – 1 ) = 0

        設點A ( x₁ , y₁ ) , B ( x₂ , y₂ )    有x₁ + x₂ =, x₁x₂ =

        |AB| =      

又因為k = tan=代入**式得 |AB| =

        當=時，直線AB的方程為x = 3，此時|AB| =

        而當=時，|AB| ==        |AB| =

        同理可得    |CD| ==

        有|AB| + |CD| =+=

        因為sin2∈[0，1]，所以當且僅當sin2=1時，|AB|+|CD|有最小值是