Question

1．已知．命題s：函數f（x）=ln（mx²-2x+1）的定義域為全體實數；
命題t：方程x²+（m-3）x+m=0的一根在（0，1）內，另一根在（1，2）內若s∨t為真命題，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 根據f（x）定義域為全體實數，可得mx²-2x+1＞0，方程x²+（m-3）x+m=0的一根在（0，1）內，另一根在（1，2）內，利用根的分布建立不等式求解m的范圍．要求s∨t為真命題，先求解出s∧t為假命題時，實數m的取值范圍，即可得到s∨t為真命題實數m的取值范圍．

解答 解：由題意，函數f（x）=ln（mx²-2x+1）的定義域為全體實數；
∴mx²-2x+1＞0對一切實數x恒成立，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{△＜0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{4-4m＜0}\end{array}\right.$，
解得：m＞1．
令g（x）=x²+（m-3）x+m=0的一根在（0，1）內，另一根在（1，2）內．
可得：$\left\{\begin{array}{l}{g（0）＞0}\\{g（1）＜0}\\{g（2）＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{2m＜2}\\{3m＞2}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{2}{3}＜m＜1$．
當s∧t為假命題時：則s為假，且t也為假．
即$\left\{\begin{array}{l}{m≤1}\\{1≤m或m≤\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
∴得m的范圍是（-∞，$\frac{2}{3}$]∪{1}
故得s∨t為真命題，實數m的取值范圍為（$\frac{2}{3}，1$）∪（1，+∞）．

點評 本題考查的知識點是二次函數的性質，其中根據方程的根與零點零點的關系，根的分布建立不等式是解答本題的關鍵．要求s∨t為真命題時m的范圍，可以通過求解出s∧t為假命題來解決．屬于中檔題．