Question

已知曲線C：y＝x³－3x²＋2x，直線l：y＝kx，且直線l與曲線C相切于點(x₀，y₀)(x₀≠0)，求直線l的方程及切點坐標．

Answer 1

y＝－x，(，－)

解析　∵直線過原點，則k＝(x₀≠0)．

由點(x₀，y₀)在曲線C上，則y₀＝x－3x＋2x₀.

∴＝x－3x₀＋2.又y′＝3x²－6x＋2，

∴在(x₀，y₀)處曲線C的切線斜率應為k＝f′(x₀)＝3x－6x₀＋2.∴x－3x₀＋2＝3x－6x₀＋2.

整理得2x－3x₀＝0，解得x₀＝(x₀≠0)．

這時，y₀＝－，k＝－.

因此，直線l的方程為y＝－x，切點坐標是(，－)．