Question

△ABC中，三邊長a，b，c滿足a³+b³=c³，那么△ABC的形狀為（　　）

A．銳角三角形

B．鈍角三角形

C．直角三角形

D．以上均有可能

Answer 1

分析：依題意可知∠C為△ABC中的最大角，且(

a

c

)3+(

b

c

)3=1；利用指數函數的單調性可證得(

a

c

)2＞(

a

c

)3，(

b

c

)2＞(

b

c

)3，利用不等式的性質與余弦定理即可判斷出答案．

解答：解：∵a³+b³=c³，
∴∠C為△ABC中的最大角，且(

a

c

)3+(

b

c

)3=1；
∴0＜a＜c，0＜b＜c，
∴0＜

a

c

＜1，0＜

b

c

＜1，
∴(

a

c

)2＞(

a

c

)3，
(

b

c

)2＞(

b

c

)3，
∴(

a

c

)2+(

b

c

)2＞(

a

c

)3+(

b

c

)3=1，
∴c²＜a²+b²，由余弦定理得：cosC=

a2+b2-c2

2ab

＞0，
∴∠C為銳角．
∴△ABC為銳角三角形．
故選A．

點評：本題考查三角形形狀的判定，得到(

a

c

)2+(

b

c

)2＞(

a

c

)3+(

b

c

)3=1是關鍵，也是難點，考查轉化思想與創新思維能力，屬于難題．