Question

已知以原點O為中心，為右焦點的雙曲線C的離心率．
（1）求雙曲線C的標準方程及其漸近線方程；
（2）如圖，已知過點M（x₁，y₁）的直線l₁：x₁x+4y₁y=4與過點N（x₂，y₂）（其中x₂≠x）的直線l₂：x₂x+4y₂y=4的交點E在雙曲線C上，直線MN與兩條漸近線分別交與G、H兩點，求△OGH的面積．
．

Answer 1

【答案】分析：（1）設C的標準方程為（a＞0，b＞0），由題意知a=2，b=1，由此可求出C的標準方程和漸近線方程．
（2）由題意知，點E（x_E，y_E）在直線l₁：x₁x+4y₁y=4和l₂：x₂x+4y₂y=4上，因此直線MN的方程為x_Ex+4y_Ey=4．設G，H分別是直線MN與漸近線x-2y=0及x+2y=0的交點，則，設MN與x軸的交戰為Q，則，由此可求△OGH的面積．
解答：解：（1）設C的標準方程為（a＞0，b＞0），
則由題意知，，
∴a=2，b=1，
∴C的標準方程為．
∴C的漸近線方程為，即x-2y=0和x+2y=0．
（2）由題意知，點E（x_E，y_E）在直線l₁：x₁x+4y₁y=4和l₂：x₂x+4y₂y=4上，
因此有x_Ex+4y_Ey=4上，因此直線MN的方程為x_Ex+4y_Ey=4．
設G，H分別是直線MN與漸近線x-2y=0及x+2y=0的交點，
由方程組及，解得，
設MN與x軸的交戰為Q，則在直線x_Ex+4y_Ey=4k，令y=0得，
∵x_E²-4y_E²=4，
∴
=
=．
點評：本題考查圓錐曲線的性質和應用，難度較大，解題時要認真審題，注意挖掘隱含條件，仔細解答．