Question

已知以原點O為中心，F(

5

，0)為右焦點的雙曲線C的離心率e=

5

2

．
（1）求雙曲線C的標準方程及其漸近線方程；
（2）如圖，已知過點M（x₁，y₁）的直線l₁：x₁x+4y₁y=4與過點N（x₂，y₂）（其中x₂≠x）的直線l₂：x₂x+4y₂y=4的交點E在雙曲線C上，直線MN與兩條漸近線分別交與G、H兩點，求△OGH的面積．

Answer 1

分析：（1）設C的標準方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），由題意知a=2，b=1，由此可求出C的標準方程和漸近線方程．
（2）由題意知，點E（x_E，y_E）在直線l₁：x₁x+4y₁y=4和l₂：x₂x+4y₂y=4上，因此直線MN的方程為x_Ex+4y_Ey=4．設G，H分別是直線MN與漸近線x-2y=0及x+2y=0的交點，則yG=

2

xE+2yE

，yH =-

2

xE-2yE

，設MN與x軸的交戰為Q，則xQ=

4

xE

，由此可求△OGH的面積．

解答：解：（1）設C的標準方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
則由題意知c=

5

，e=

c

a

=

5

2

，
∴a=2，b=1，
∴C的標準方程為

x2

4

-y2=1．
∴C的漸近線方程為y=±

1

2

x，即x-2y=0和x+2y=0．
（2）由題意知，點E（x_E，y_E）在直線l₁：x₁x+4y₁y=4和l₂：x₂x+4y₂y=4上，
因此有x_Ex+4y_Ey=4上，因此直線MN的方程為x_Ex+4y_Ey=4．
設G，H分別是直線MN與漸近線x-2y=0及x+2y=0的交點，
由方程組

xEx+4yEy=4 x-2y=0

及

xEx+4yEy=4 x+2y=0

，解得yG=

2

xE+2yE

，yH =-

2

xE-2yE

，
設MN與x軸的交戰為Q，則在直線x_Ex+4y_Ey=4k，令y=0得xQ=

4

xE

，
∵x_E²-4y_E²=4，
∴S△OGH=

1

2

•|OQ|•|yG-yH|
=

4

|xE|

•|

1

xE+2yE

+

1

xE-2yE

|
=

4

|xE|

•

2|xE|

|xE2-4yE2|

=2．

點評：本題考查圓錐曲線的性質和應用，難度較大，解題時要認真審題，注意挖掘隱含條件，仔細解答．