Question

已知以原點O為中心的橢圓的一條準線方程為y=

4 3

3

，離心率e=

3

2

，M是橢圓上的動點
（Ⅰ）若C，D的坐標分別是(0，-

3

)，(0，

3

)，求|MC|•|MD|的最大值；
（Ⅱ）如題（20）圖，點A的坐標為（1，0），B是圓x²+y²=1上的點，N是點M在x軸上的射影，點Q滿足條件：

OQ

=

OM

+

ON

，

QA

•

BA

=0、求線段QB的中點P的軌跡方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設條件知焦點在y軸上，故設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．設c=

a2-b2

，由準線方程y=

4 3

3

．由此能夠求出橢圓方程．從而得到點M的坐標為（±1，0）時上式取等號，|MC|•|MD|的最大值為4．
（II）設M（x_m，y_m），B（x_B，y_B）Q（x_Q，y_Q）．因為N(xN，0)，

OM

+

ON

=

OQ

，故x_Q=2x_N，y_Q=y_M，x_Q²+y_Q²=（2x_M）²+y^y=4．因為

QA

•

BA

=0，（1-x_Q-y_Q）•（1-x_N-y_n）=（1-x_Q）（1-x_N）+y_Qy_N=0，所以x_Qx_N+y_Qy_N=x_N+x_Q-1．由此可導出動點P的軌跡方程為(x-

1

2

)2+y2=1．

解答：解：（Ⅰ）由題設條件知焦點在y軸上，
故設橢圓方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）．
設c=

a2-b2

，由準線方程y=

4 3

3

得．
由e=

3

2

得

c

a

=

3

2

，解得a=2，c=

3

，
從而b=1，橢圓方程為x2+

y2

4

=1．
又易知C，D兩點是橢圓x2+

y2

4

=1的焦點，
所以，|MC|+|MD|=2a=4
從而|MC|•|MD|≤(

|MC|+|MD|

2

)2=22=4，
當且僅當|MC|=|MD|，
即點M的坐標為（±1，0）時上式取等號，|MC|•|MD|的最大值為4．
（II）如圖（20）圖，設M（x_m，y_m），B（x_B，y_B）Q（x_Q，y_Q）．
因為N(xN，0)，

OM

+

ON

=

OQ

，
故x_Q=2x_N，y_Q=y_M，x_Q²+y_Q²=（2x_M）²+y^y=4①
因為

QA

•

BA

=0，
（1-x_Q-y_Q）•（1-x_N-y_n）
=（1-x_Q）（1-x_N）+y_Qy_N=0，
所以x_Qx_N+y_Qy_N=x_N+x_Q-1．②
記P點的坐標為（x_P，y_P），因為P是BQ的中點
所以2x_P=x_Q+x_P，2y_P=y_Q+y_P
由因為x_N²+y_N²=1，結合①，②得

x

2 P

+

y

2 P

=

1

4

((xQ+xN)2+(yQ+yN)2)
=

1

4

(

x

2 Q

+

x

2 N

+

y

2 Q

+

y

2 n

+2(xQxN+yQyN))
=

1

4

(5+2(xQ+xN-1))=

3

4

+xP
故動點P的軌跡方程為(x-

1

2

)2+y2=1

點評：本題考查圓錐曲線的綜合應用，解題時要認真審題，仔細求解．