Question

已知點集L{（x，y）|y=}，其中=（2x-2b，1），=（1，1+2b）為向量，點列P_n（a_n，b_n）在點集L中，P₁為L的軌跡與y軸的交點，已知數列{a_n}為等差數列，且公差為1，3．
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）求的最小值；（其中O為坐標原點）
（3）設（n≥2），求：C₂+C₃+…+C_n的值．

Answer 1

解：（1）由，，
得：y=2x+1
即L：y=2x+1
∵P₁為L的軌跡與y軸的交點，
∴P₁（0，1）則a₁=0，b₁=1
∵數列{a_n}為等差數列，且公差為1，
∴a_n=n-1（n∈N^*），
代入y=2x+1，得：b_n=2n-1（n∈N^*）
（2）∵P_n（n-1，2n-1），
∴P_n+1（n，2n+1），
∴
∵n∈N^*，所以當n=1時，有最小值，為3．
（3）當n≥2時，P_n（n-1，2n-1），
得：，
，
∴．
分析：（1）由，，得：y=2x+1，由此入手結合題意能夠導出a_n=n-1（n∈N^*），b_n=2n-1（n∈N^*）．
（2）由P_n（n-1，2n-1），知P_n+1（n，2n+1），由此能夠導出當n=1時，有最小值3．
（3）由當n≥2時，P_n（n-1，2n-1），得：，由此能夠求出C₂+C₃+…+C_n的值．
點評：本題考查數列性質的綜合運用，具有一定的難度，解題時要注意挖掘隱含條件．