Question

已知點集L{（x，y）|y=

m

•

n

}，其中

m

=（2x-2b，1），

n

=（1，1+2b）為向量，點列P_n（a_n，b_n）在點集L中，P₁為L的軌跡與y軸的交點，已知數列{a_n}為等差數列，且公差為1．
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）求

OPn

•

OPn+1

的最小值；（其中O為坐標原點）
（3）設Cn=

5

n•an•| PnPn+1 |

（n≥2），求：C₂+C₃+…+C_n的值．

Answer 1

分析：（1）由y=

m

•

n

，

m

=(2x-2b， 1)， 

n

=(1， 1+2b)，得：y=2x+1，由此入手結合題意能夠導出a_n=n-1（n∈N^*），b_n=2n-1（n∈N^*）．
（2）由P_n（n-1，2n-1），知P_n+1（n，2n+1），由此能夠導出當n=1時，

OPn

•

OPn+1

有最小值3．
（3）由當n≥2時，P_n（n-1，2n-1），得：Cn=

5

n•an•| PnPn+1 |

=

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

，由此能夠求出C₂+C₃+…+C_n的值．

解答：解：（1）由y=

m

•

n

，

m

=(2x-2b， 1)， 

n

=(1， 1+2b)，
得：y=2x+1
即L：y=2x+1
∵P₁為L的軌跡與y軸的交點，
∴P₁（0，1）則a₁=0，b₁=1
∵數列{a_n}為等差數列，且公差為1，
∴a_n=n-1（n∈N^*），
代入y=2x+1，得：b_n=2n-1（n∈N^*）
（2）∵P_n（n-1，2n-1），
∴P_n+1（n，2n+1），
∴

OPn

•

OPn+1

=(n-1，2n-1)•(n，2n+1)=5n2-n-1=5(n-

1

10

)2-

21

20

∵n∈N^*，所以當n=1時，

OPn

•

OPn+1

有最小值，為3．
（3）當n≥2時，P_n（n-1，2n-1），
得：an•|

PnPn+1

|=

5

(n-1)，
Cn=

5

n•an•| PnPn+1 |

=

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

，
∴C2+C3++Cn=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)++(

1

n-1

-

1

n

)=1-

1

n

．

點評：本題考查數列性質的綜合運用，具有一定的難度，解題時要注意挖掘隱含條件．