Question

1．函數f（x）=log₄$\sqrt{x}$•log${\;}_{\sqrt{2}}$（2x）的值域用區間表示為[-$\frac{1}{8}$，+∞）．

Answer 1

分析 令t=log₂x，則t∈R，y=f（x）=$\frac{1}{2}$（t²+t），結合二次函數的圖象和性質，可得函數f（x）=log₄$\sqrt{x}$•log${\;}_{\sqrt{2}}$（2x）的值域．

解答 解：函數f（x）=log₄$\sqrt{x}$•log${\;}_{\sqrt{2}}$（2x）的定義域為（0，+∞），
由f（x）=log₄$\sqrt{x}$•log${\;}_{\sqrt{2}}$（2x）=$\frac{1}{4}$log₂x•2（log₂x+1），
令t=log₂x，則t∈R，
y=f（x）=$\frac{1}{2}$（t²+t），
當t=$-\frac{1}{2}$時，函數有最小值-$\frac{1}{8}$，無最大值，
故函數f（x）=log₄$\sqrt{x}$•log${\;}_{\sqrt{2}}$（2x）的值域為[-$\frac{1}{8}$，+∞），
故答案為：[-$\frac{1}{8}$，+∞）

點評 本題考查的知識點是對數的運算性質，函數的最值，函數的值域，二次函數的圖象和性質，難度中檔．