Question

已知銳角α、β滿足

5

[sin(π-

α

2

) +sin(

π

2

+

α

2

) ]• [cos(

π

2

-

α

2

) +cos(π+

α

2

) ]=-1且

1

3

sinβ+sin（2α+β）=0
（1）求cosα的值；
（2）求α+β的值．

Answer 1

分析：（1）利用誘導(dǎo)公式化簡已知的第一個等式后，再根據(jù)二倍角的余弦函數(shù)公式即可求出cosα的值；
（2）由（1）求出的cosα的值，及α為銳角，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinα的值，進而求出tanα的值，以及sin2α和cos2α的值，然后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡已知第二個等式左邊的第二項，把sin2α和cos2α的值代入，合并移項后，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切求出tanβ的值，最后利用兩角和與差的正切函數(shù)公式表示出tan（α+β），把tanα和tanβ的值代入求出tan（α+β）的值，由α、β為銳角，求出α+β的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出α+β的度數(shù)．

解答：解：（1）∵

5

[sin(π-

α

2

) +sin(

π

2

+

α

2

) ]• [cos(

π

2

-

α

2

) +cos(π+

α

2

) ]=-1，
整理得：

5

（sin

α

2

+cos

α

2

）（sin

α

2

-cos

α

2

）=-1，
則cosα=cos²

α

2

-sin²

α

2

=

5

5

；
（2）∵cosα=

5

5

，且α為銳角，
∴sinα=

2 5

5

，tanα=2，
則sin2α=2sinαcosα=

4

5

，cos2α=cos²α-sin²α=-

3

5

，
又

1

3

sinβ+sin（2α+β）=0，
即

1

3

sinβ+sin2αcosβ+cos2αsinβ=

1

3

sinβ+

4

5

cosβ-

3

5

sinβ=0，
∴tanβ=3，
則tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

2+3

1-2×3

=-1，
又α、β為銳角，∴0＜α+β＜π，
則α+β=

3π

4

．

點評：此題考查了三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，涉及的知識有：誘導(dǎo)公式，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正切函數(shù)公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．