Question

（文）已知銳角三角形ABC的三邊為連續整數，且角A、B滿足A=2B．
（1）當

π

5

＜B＜

π

4

時，求△ABC的三邊長及角B（用反三角函數值表示）；
（2）求△ABC的面積S．

Answer 1

（1）設△ABC的三邊為n-1，n，n+1（n≥3，n∈N），
由題設A=2B得：C=π-A-B=π-3B，
由題意

π

5

＜B＜

π

4

，得

2π

5

＜A＜

π

2

，
可得

π

4

＜C＜

2π

5

，
從而A＞C＞B，得角B所對的邊為n-1，角A所對的邊為n+1，（4分）
故有

n-1

sinB

=

n+1

sin2B

，
得cosB=

n+1

2(n-1)

，又cosB=

n2+(n+1)2-(n-1)2

2n(n+1)

，
得

n+1

2(n-1)

=

n2+(n+1)2-(n-1)2

2n(n+1)

，
解得n=5，
故△ABC的三邊長為4，5，6，（7分）
得cosB=

3

4

，從而B=arccos

3

4

；（10分）
（2）由B=arccos

3

4

，得到cosB=

3

4

，又B為銳角，
∴sinB=

7

4

，又a=6，c=5，
則S=

1

2

acsinB=

15 7

4

．（14分）