Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點為F₁、F₂，離心率為

3

2

，P為橢圓C上的任一點，△PF₁F₂的周長為4+2

3

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設過點D（0，

6

2

）的直線l與橢圓C交于P、Q兩點，若直線OP、PQ、OQ的斜率依次成等比數列（O為坐標原點），求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的定義及其離心率計算公式、b²=a²-c²即可得出．
（2）設直線l的方程為：y=kx+

6

2

．與橢圓的方程聯立即可得到根與系數的關系、再利用斜率計算公式及其等比數列的性質即可得出．

解答：解：（1）由題意可得

c a = 3 2 2a+2c=4+2 3

，解得

a=2 c= 3

，∴b²=a²-c²=1．
∴橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1．
（2）由題意可知：直線l的斜率存在且不為0，又過點D(0，

6

2

)，故可設直線l的方程為：y=kx+

6

2

．
聯立

y=kx+ 6 2 x2+4y2=4

 消去y得：(1+4k2)x2+4

6

kx+2=0
由△=(4

6

k)2-8(1+4k2)＞0，得：k2＞

1

8

．
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x1+x2=

-4 6 k

1+4k2

，x1x2=

-2

1+4k2

．
y₁y₂=(kx1+

6

2

)(kx2+

6

2

)=k2x1x2+

6

2

k(x1+x2)+

3

2

，
∵直線OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數列，∴

y1

x1

•

y2

x2

=k2，即y1y2=k2x1x2，
∴

6

2

k(x1+x2)+

3

2

=0，
∴

6 k

2

•

-4 6 k

1+4k2

+

3

2

=0，解得：k2=

1

4

，即k=±

1

2

．
∴直線l的方程為：y=±

1

2

x+

6

2

．

點評：熟練掌握橢圓的定義及其離心率計算公式、b²=a²-c²、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立即可得到根與系數的關系、斜率計算公式及其等比數列的性質等是解題的關鍵．