【題目】對于集合
，
，
,
.集合
中的元素個數記為
.規定：若集合滿足
，則稱集合具有性質
．
（I）已知集合
，
，寫出
，
的值；
（II）已知集合，
為等比數列，
，且公比為
，證明：具有性質；
（III）已知
均有性質，且
，求
的最小值.
【答案】（I）
； （II）見解析； （III）
.
【解析】
(Ⅰ)分別求得A+A，B+B，然后可得
，
的值；
(Ⅱ)將原問題進行等價變形，然后利用反證法證明題中的結論即可；
(Ⅲ)原問題等價于任意兩個元素之和均不相同，且任意兩個不同元素之差的絕對值均不相同.據此整理計算即可確定
的最小值.
（I）由題意可得：
，
,
故
（II）要證
具有性質
，只需證明，若
，則
.
假設上式結論不成立，即若，則
.
即
，即
，
，
.
因為上式的右邊為
的倍數，而上式的左邊為
的倍數，所以上式不成立.
故假設不成立，原命題成立.
（III）由題意，集合具有性質，等價于任意兩個元素之和均不相同.
如，對于任意的
，有
，
等價于
，即任意兩個不同元素之差的絕對值均不相同.
令
，
所以具有性質
.
因為集合
均有性質，且
，
所以
，當且僅當
時等號成立.
所以的最小值為.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某高三理科班共有
名同學參加某次考試，從中隨機挑出
名同學，他們的數學成績
與物理成績
如下表：
數學成績 |
|
|
|
|
|
物理成績 |
|
|
|
|
|
（1）數據表明與之間有較強的線性關系，求關于的線性回歸方程；
（2）本次考試中，規定數學成績達到
分為優秀，物理成績達到
分為優秀.若該班數學優秀率與物理優秀率分別為
和
，且除去抽走的名同學外，剩下的同學中數學優秀但物理不優秀的同學共有人，請寫出
列聯表，判斷能否在犯錯誤的概率不超過
的前提下認為數學優秀與物理優秀有關？
參考數據：
，
；
，
；
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】甲乙兩位同學整理了某學科高三以來9次考試的成績（甲缺席了其中3次考試，只有6次成績），得到如下莖葉圖.
（1）若用分層抽樣的方法從兩人的15個成績選取5個評估，應選取甲的幾次成績？若分層抽樣時對甲的成績采用隨機抽取，求選取到的甲的成績至少有一次高于85分的概率；
（2）試通過表中的所有數據，從平均水平和穩定性來評判兩位同學該學科的考試成績.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】f(x)是定義在區間[-c,c]上的奇函數,其圖象如下圖所示.令g(x)=af(x)+b,則下列關于函數g(x)的結論:
①若a<0,則函數g(x)的圖象關于原點對稱;
②若a=-1,-2<b<0,則方程g(x)=0有大于2的實根;
③若a≠0,b=2,則方程g(x)=0有兩個實根;
④若a≠0,b=2,則方程g(x)=0有三個實根.
其中,正確的結論為________.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
在極坐標系中，曲線
，
，C與l有且僅有一個公共點．
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）O為極點，A，B為C上的兩點，且
，求
的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】貨車欲以xkm/h的速度行駛，去130km遠的某地，按交通法規，限制x的允許范圍是50≤x≤100，假設汽油的價格為2元/升，而汽車耗油的速率是
升/小時.司機的工資是14元/小時，試問最經濟的車速是多少？這次行車往返的總費用最低是多少？
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