Question

設函數f(x)=e^x-m-x,其中m∈R.

(1)求函數f(x)的最值;

(2)定理:若函數g(x)在［a,b］上連續,且g(a)與g(b)異號,則至少存在一點x₀∈(a,b),使得g(x₀)=0.

試用上述定理判斷:當m＞1時,函數f(x)=0在區間(m,2m)內根的個數.(已知f(x)在R上連續)

Answer 1

解:(1)∵f(x)在(-∞,+∞)上連續,f′(x)=e^x-m-1,

令f′(x)=0,得x=m.

當x∈(-∞,m)時,e^x-m＜1,f′(x)＜0;

當x∈(m,+∞)時,e^x-m＞1,f′(x)＞0.①

∴當x=m時,f(x)取極小值也是最小值.

∴f(x)_min=f(m)=1-m;

又當x趨向-∞時,e^x-m趨向于0,∴f(x)=e^x-m-x趨向于無窮大.

∴f(x)無最大值.

(2)函數f(x)在［m,2m］上連續.而f(2m)=e^m-2m,令g(m)=e^m-2m,則g′(m)=e^m-2,∵m＞1,

∴g′(m)＞e-2＞0.∴g(m)在(1,+∞)上遞增.

由g(1)=e-2＞0得g(m)＞g(1)＞0,即f(2m)＞0,

又f(m)=1-m＜0,∴f(m)·f(2m)＜0.又f(x)在［m,2m］上為單調增函數,

∴根據定理,可判斷函數f(x)=0在區間(m,2m)上只有一根.