Question

【題目】已知函數y=x2的圖象在點（x0 ， x02）處的切線為l，若l也與函數y=lnx，x∈（0，1）的圖象相切，則x0必滿足（ ）
A.0＜x0＜
B. ＜x0＜1
C. ＜x0＜
D. ＜x0

Answer 1

【答案】D
【解析】解：函數y=x2的導數為y′=2x， 在點（x0 ， x02）處的切線的斜率為k=2x0 ，
切線方程為y﹣x02=2x0（x﹣x0），
設切線與y=lnx相切的切點為（m，lnm），0＜m＜1，
即有y=lnx的導數為y′= ，
可得2x0= ，切線方程為y﹣lnm= （x﹣m），
令x=0，可得y=lnm﹣1=﹣x02 ，
由0＜m＜1，可得x0＞ ，且x02＞1，
解得x0＞1，
由m= ，可得x02﹣ln（2x0）﹣1=0，
令f（x）=x2﹣ln（2x）﹣1，x＞1，
f′（x）=2x﹣ ＞0，f（x）在x＞1遞增，
且f（ ）=2﹣ln2 ﹣1＜0，f（ ）=3﹣ln2 ﹣1＞0，
則有x02﹣ln（2x0）﹣1=0的根x0∈（ ， ）．
故選：D．
求出函數y=x2的導數，y=lnx的導數，求出切線的斜率，切線的方程，可得2x0= ，lnm﹣1=﹣x02 ， 再由零點存在定理，即可得到所求范圍．