Question

已知函數的切線方程為.

（1）求函數的解析式；

（2）設，求證：上恒成立；

（3）已知.

 

Answer 1

（1）；（2）由已知得在上恒成立，

化簡，即在上恒成立.

設，，

因為，所以，即，

所以在上單調遞增，，所以在上恒成立 .

（3）因為，所以，由（2）知有，

整理得，所以當時，.

【解析】

試題分析：（1）首先將點的坐標代入切線方程，即可求出；然后將點的坐標代入函數的解析式可得；再由導數的幾何意義知，即；最后聯立方程組即可求出參數的值，并寫出函數的解析式即可；

（2）將不等式整理得出，問題轉化為在上恒成立，然后記，并求出，得出時，可知在上單調遞增，從而求出的最小值即可得出結果.

試題解析：（1）將代入切線方程得， ∴，

化簡得.，，

解得：.∴.

（2）由已知得在上恒成立，

化簡，即在上恒成立.

設，，

因為 ，所以，即，

所以在上單調遞增，，所以在上恒成立 .

（3）因為，所以，由（2）知有，

整理得，所以當時，.

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程；函數恒成立問題.