Question

關于x的不等式

1

x

+

4x

a

≥4在區間[1，2]上恒成立，則實數a的取值范圍為（　　）

• A、（0，

  4

  3

  ]
• B、（1，

  4

  3

  ]
• C、[1，

  4

  3

  ]
• D、[

  16

  7

  ，

  4

  3

  ]

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：由

1

x

+

4x

a

≥4，分離變量a得

1

a

≥-

1

4

(

1

x

-2)2+1，由x∈[1，2]求得

1

x

∈[

1

2

，1]，則-

1

4

(

1

x

-2)2+1∈[

7

16

，

3

4

]．∴

1

a

≥

3

4

，由此求得實數a的取值范圍．

解答： 解：由

1

x

+

4x

a

≥4，得

4x

a

≥4-

1

x

=

4x-1

x

，即

1

a

≥

4x-1

4x2

=-

1

4

(

1

x

)2+

1

x

=-

1

4

(

1

x

-2)2+1，
∵x∈[1，2]，∴

1

x

∈[

1

2

，1]，則-

1

4

(

1

x

-2)2+1∈[

7

16

，

3

4

]．
∴

1

a

≥

3

4

，則0＜a≤

4

3

．
∴實數a的取值范圍為（0，

4

3

]．
故選：A．

點評：本題考查了函數恒成立問題，考查了數學轉化思想方法，訓練了利用配方法求二次函數的最值，是中檔題．