Question

已知向量

a

=（

1

2

x，x-4），向量

b

=（x，

3

2

x），x∈[-4，5]
（Ⅰ）試用x表示

a

•

b

；    
（Ⅱ）求

a

•

b

的最大值，并求此時的cos＜

a

、

b

＞．（＜

a

、

b

＞表示兩向量的夾角）

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用斜率的數量積，求出

a

•

b

的表達式即可；    
（Ⅱ）利用

a

•

b

的表達式，通過二次函數求出最大值，求出此時的cos＜

a

，

b

＞的值．

解答：解：（Ⅰ）

a

•

b

=2x²-6x-----------------------------------------（3分）
（Ⅱ）設f（x）=2x²-6x=2（x-

3

2

）²-

9

2

，
∵x∈[-4，5]
∴當x=-4時，

a

•

b

的最大值為56--------------------------------------（9分）
此時，

a

=（-2，-8），

b

=（-4，-6），|

a

|=2

17

，|

b

|=2

13

設

a

、

b

的夾角為θ，則cosθ=

56

2 17 •2 13

=

14 221

221

．------------------（12分）

點評：本題考查向量的數量積與二次函數的最值的求法，考查計算能力．