Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且點P_n（S_n，a_n）（n∈N^*）總在直線x-3y-1=0上．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設T_n為數列的前n項和，若對?n∈N^*總有成立，其中m∈N^*，求m的最小值．

Answer 1

解：（1）∵點P_n（S_n，a_n）（n∈N^*）總在直線x-3y-1=0上．
∴S_n=3a_n+1
當n=1時，a₁=3a₁+1，∴
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=3a_n-3a_n-1（n≥2）
即數列{a_n}是首項，公比的等比數列
∴．
（2）∵，
∴
∴=
=＞-6
∵對?n∈N^*總有成立
∴必須并且只需即m≥13．
∴m的最小值為13．
分析：（1）先利用點P_n（S_n，a_n）（n∈N^*）總在直線x-3y-1=0上求出S_n=3a_n+1；再根據已知前n項和求通項公式的方法即可數列{a_n}的通項公式；
（2）先利用上面的結論求出數列的通項公式，再代入數列的求和公式求出T_n，進而求出其最大值（或其最大值的臨界值）；最后再與比較即可求出結論．
點評：本題主要考查數列的綜合知識以及數列與不等式相結合問題．解決第二問的關鍵在于把“對?n∈N^*總有成立'轉化為求T_n的最大值（或其最大值的臨界值）問題．