Question

已知拋物線x²=2py（p＞0）上一點(diǎn)P（x，1）到焦點(diǎn)F的距離為2，
（1）求拋物線的方程；
（2）過點(diǎn)F的動直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，求弦AB中點(diǎn)Q的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由拋物線的準(zhǔn)線：，知點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為，由此能求出拋物線方程．
（2）F（0，1），設(shè)AB方程為y=kx+1（k顯然存在），由，由此能求出弦AB中點(diǎn)Q的軌跡方程．
解答：解：（1）拋物線的準(zhǔn)線：，
∴點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為，
∴p=2，
∴拋物線方程為x²=4y．
（2）F（0，1），設(shè)AB方程為y=kx+1（k顯然存在）
由，（△＞0恒成立）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x，y），
則x₁+x₂=4k，
∵Q（x，y）是線段AB的中點(diǎn)，
∴，
∴k=，
∴，
整理，得x²-2y+2=0．
故弦AB中點(diǎn)Q的軌跡方程為：x²-2y+2=0．
點(diǎn)評：本題考查拋物線方程的求法和求弦AB中點(diǎn)Q的軌跡方程．通過直線與圓錐曲線的位置關(guān)系處理，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．通過向量與幾何問題的綜合，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問題的能力，探究研究問題的能力，并體現(xiàn)了合理消元，設(shè)而不解的代數(shù)變形的思想．