Question

（2007•廣州模擬）已知拋物線x²=2py（p＞0），過動點M（0，a），且斜率為1的直線L與該拋物線交于不同兩點A、B，|AB|≤2p，
（1）求a的取值范圍；
（2）若p=2，a=3，求直線L與拋物線所圍成的區域的面積．

Answer 1

分析：（1）設直線L方程為：y=x+a，與拋物線聯立方程組，得x²-2px-2ap=0，由=4p²+8ap＞0，解得a＞-

p

2

，由|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

4p2+8ap

≤2p，能求出a的取值范圍．
（2）若p=2，a=3，則直線L方程為：y=x+3，拋物線方程為x²=4y，故x²-4x-12=0，解得方程兩根為-2和6，直線與拋物線所圍成區域的面積為：S=

∫

6 -2

[(x+3)-

x2

4

]dx，由此能得到結果．

解答：解：（1）設直線L方程為：y=x+a，
與拋物線聯立方程組，得

y=x+a x2=2py

，
∴x²-2px-2ap=0，
∵直線L與該拋物線交于不同兩點A、B，
∴△=4p²+8ap＞0，
解得a＞-

p

2

x₁+x₂=2p，
x₁×x₂=-2ap，
∴|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

4p2+8ap

≤2p
解得a≤-

p

4

∴-

p

2

＜a≤-

p

4

．
（2）若p=2，a=3，
則直線L方程為：y=x+3，
拋物線方程為x²=4y，

y=x+3 x2=4y

，
∴x²-4x-12=0，
解得方程兩根為-2和6，
∴直線與拋物線所圍成區域的面積為：
S=

∫

6 -2

[(x+3)-

x2

4

]dx
=

1

2

x²+3x-

x3

12

.

6 -2

=

68

3

．

點評：本題考查直線與拋物線的綜合運用，考查定積分的性質和應用．考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．