Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓 (a＞b＞0)的離心率為，長軸長為4.過橢圓的左頂點A作直線l，分別交橢圓和圓x2＋y2＝a2于相異兩點P，Q.

(1)若直線l的斜率為，求的值；

(2)若，求實數λ的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1） （2）0＜λ＜1.

【解析】試題分析：

首先求得橢圓方程為，圓的方程為.

(1)法一：直線方程為，與橢圓方程聯立可得，則，結合圓的性質可得,則.

法二：聯立直線方程與橢圓方程可得： ，則.

(2)由題意可得，設直線l：y＝k(x＋2)，與橢圓方程聯立可得，據此可得： ，同理可得，則.

試題解析：

由題意得解得

所以橢圓的方程為＋＝1，圓的方程為x2＋y2＝4.

(1)法一　直線l的方程為y＝ (x＋2)，

由得3x3＋4x－4＝0.

解得xA＝－2，xP＝，所以P.

所以AP＝＝.

又因為原點O到直線l的距離d＝＝，

所以AQ＝2＝，所以＝＝.

法二　由得3y2－4y＝0，所以yP＝.

由得5y2－8y＝0，所以yQ＝.

所以＝＝×＝.

(2)若＝λ，則λ＝－1，

設直線l：y＝k(x＋2)，

由得(2k2＋1)x2＋8k2x＋8k2－4＝0，

即(x＋2)[(2k2＋1)x＋(4k2－2)]＝0，

所以xA＝－2，xP＝，得P.

所以AP2＝＝，

即AP＝.同理可得AQ＝.

所以λ＝－1＝1－.

由題意知k2＞0，所以0＜λ＜1.