Question

已知函數(shù)處取得極值.
（1）求實(shí)數(shù)a的值，并判斷上的單調(diào)性；
（2）若數(shù)列滿足；
（3）在（2）的條件下，
記
求證：

Answer 1

（1）1 在上是增函數(shù).（2）見(jiàn)解析（3）見(jiàn)解析

（1）
由題知，即a-1=0，∴a=1.
則
∵x≥0，∴≥0，≥0，又∵＞0，∴x≥0時(shí)，≥0，
∴在上是增函數(shù).
（Ⅱ）由（Ⅰ）知∴
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明＞0.①當(dāng)n=1時(shí)，=1＞0成立；
②假設(shè)當(dāng)時(shí)，＞0,∵在上是增函數(shù)，
∴＞∴＞0成立，綜上當(dāng)時(shí)，＞0.
又∵＞0,1+＞1,∴＞0,∵＞0,
∴＜，
而=1,∴≤1，綜上，0＜≤1.（3）∵0＜＜≤1，
∴＜,∴＜,∴＜,
∴＞＞0,
∴=·…＜·…… =ⁿ.
∴S_n＝++…+
＜+()²+…+()ⁿ
＝＜==1.
∴S_n＜1.