Question

已知函數f （x）=，x∈[1，+∞）．
（1）當a=4時，求f（x）的最小值；
（2）當a=時，求f（x）的最小值；
（3）若a為正常數，求f（x）的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）把f（x）用分離常數法分離，再利用函數的單調性來求f（x）的最小值．
（2）把f（x）用分離常數法分離，再利用函數的單調性來求f（x）的最小值．
（3）先用分離常數法把函數分離，在分和1的大小并利用函數的單調性來求f（x）的最小值．
解答：解：（1）當a=4時，f（x）=x++2，易知，f（x）在[1，2]上是減函數，在（2，+∞）上是增函數．
∴f（x）_min=f（2）=6．
（2）當a=時，f（x）=x++2．
易知，f（x）在[1，+∞）上為增函數．
∴f（x）_min=f（1）=．
（3）函數f（x）=x++2在（0，]上是減函數，在[，+∞）上是增函數．
若＞1，即a＞1時，f（x）在區間[1，+∞）上先減后增，f（x）_min=f（）=2+2．
若≤1，即0＜a≤1時，
f（x）在區間[1，+∞）上是增函數，
∴f（x）_min=f（1）=a+3．
點評：本題考查分離常數法在求函數值域中的應用，分離常數法求函數值域一般適用于分式函數，且分子為二次形式，而分母為一次形式的題．