Question

已知a，b，c都是正數，且a，b，c成等比數列，求證：a²+b²+c²＞（a-b+c）²．

Answer 1

分析：左邊減去右邊等于2（ab+bc-ac ），用等比數列的定義以及基本不等式可得 a+c＞b，進而推出2（ab+bc-ac ）＞0，
從而證得不等式成立．

解答：證明：∵a²+b²+c² -（a-b+c）²=2（ab+bc-ac ）．
∵a，b，c都是正數，且a，b，c成等比數列，∴b² =ac≤(

a+c

2

)2，
開方可得

a+c

2

≥

b2

，故 a+c≥2b＞b．
∴2（ab+bc-ac ）=2（ab+bc-b² ）=2b（a+c-b）＞0，
∴a²+b²+c² -（a-b+c）²＞0，∴a²+b²+c²＞（a-b+c）² ．

點評：本題主要考查基本不等式的應用，等比數列的定義和性質，用比較法證明不等式，屬于中檔題．