Question

已知a，b，c都是正實數，且滿足log₄（16a+b）=log2

ab

，則使4a+b≥c恒成立的c的取值范圍是

（0，36]

．

Answer 1

分析：由log₄（16a+b）=log2

ab

，知16a+b=ab，a=

b

b-16

．所以4a+b=

4b

b-16

+b=4+

64

b-16

+（b-16）+16≥20+2

64 b-16 •(b-16)

=36．所以，使4a+b≥c恒成立，c只要小于4a+b的最小值即可．

解答：解：∵log₄（16a+b）=log2

ab

，
∴16a+b=ab，a=

b

b-16

．
∴4a+b=

4b

b-16

+b
=4+

64

b-16

+b
=4+

64

b-16

+（b-16）+16
≥20+2

64 b-16 •(b-16)

=36，
當且僅當

64

b-16

=b-16，
即b=24時成立．
所以，使4a+b≥c恒成立，
c只要小于4a+b的最小值即可，又由c為正實數，
則c∈（0，36]．
故答案為：（0，36]．

點評：本題考查對數的運算性質的應用，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，注意均值不等式的靈活運用．易錯點是忽視均值定理成立的條件．