Question

如圖所示鐵路線上AB線段長100km，工廠C到鐵路線上A處的垂直距離CA為20km．現(xiàn)在要在AB上選一點(diǎn)D，從D向C修一條直線公路．已知鐵路運(yùn)輸每噸千米與公路運(yùn)輸每噸千米的運(yùn)費(fèi)之比為3：5，為了使原料從B處運(yùn)到工廠C的運(yùn)費(fèi)最省，D應(yīng)選在何處？

Answer 1

解：設(shè)∠CDA=α，總運(yùn)費(fèi)為y，鐵路和公路每公里的運(yùn)費(fèi)分別為3K和5K，
則DA=，CD=
∴BD=100-
∴y=3K（100-）+5K×=300K+20K×
∵
令，可得
令，可得，令，可得
從而可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，而且就是函數(shù)的最小值
此時(shí)，，，DA==15km
即D離A點(diǎn)15km．
分析：設(shè)∠CDA=α，鐵路和公路每公里的運(yùn)費(fèi)分別為3K和5K，則DA=，CD=，進(jìn)而可表示出總運(yùn)費(fèi)，再利用導(dǎo)數(shù)的方法，可求運(yùn)費(fèi)最省時(shí)，D的位置．
點(diǎn)評(píng)：本題以實(shí)際問題為載體，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，選擇適當(dāng)?shù)膮��?shù)是解題的關(guān)鍵．