Question

如圖所示鐵路線上AB線段長100km，工廠C到鐵路線上A處的垂直距離CA為20km．現在要在AB上選一點D，從D向C修一條直線公路．已知鐵路運輸每噸千米與公路運輸每噸千米的運費之比為3：5，為了使原料從B處運到工廠C的運費最省，D應選在何處？

Answer 1

【答案】分析：設∠CDA=α，鐵路和公路每公里的運費分別為3K和5K，則DA=，CD=，進而可表示出總運費，再利用導數的方法，可求運費最省時，D的位置．
解答：解：設∠CDA=α，總運費為y，鐵路和公路每公里的運費分別為3K和5K，
則DA=，CD=
∴BD=100-
∴y=3K（100-）+5K×=300K+20K×
∵
令，可得
令，可得，令，可得
從而可知，當時，函數取得極小值，而且就是函數的最小值
此時，，，DA==15km
即D離A點15km．
點評：本題以實際問題為載體，考查函數模型的構建，考查導數知識的運用，選擇適當的參數是解題的關鍵．