Question

13．已知t為實數，函數f（x）=2log_a（2x+t-2），g（x）=log_ax，其中0＜a＜1．
（1）若函數y=g（a^x+1）-kx是偶函數，求實數k的值；
（2）當x∈[1，4]時，f（x）的圖象始終在g（x）的圖象的下方，求t的取值范圍；
（3）設t=4，當x∈[m，n]時，函數y=|f（x）|的值域為[0，2]，若n-m的最小值為$\frac{1}{6}$，求實數a的值．

Answer 1

分析 （1）根據偶函數的定義可得k的值；
（2）構造函數h（x）=f（x）-g（x），根據對數函數的圖象和性質可得，只需要t＞-2x+$\sqrt{x}$+2恒成立，根據二次函數的性質求出t的取值范圍即可；
（3）先判斷函數y=|f（x）|的單調性，令|2log_a（2x+2）|=2，得到x=$\frac{a-2}{2}$或$\frac{1-2a}{2a}$，即可得到n-m的最小值為（-$\frac{1}{2}$）-$\frac{a-2}{2}$=$\frac{1}{6}$，求出a即可．

解答 解：（1）∵函數y=g（a^x+1）-kx是偶函數，
∴log_a（a^-x+1）+kx=log_a（a^x+1）-kx，對任意x∈R恒成立，
∴2kx=log_a（a^x+1）-log_a（a^-x+1）=log_a（$\frac{{a}^{x}+1}{{a}^{-x}+1}$）=x
∴k=$\frac{1}{2}$，
（2）由題意設h（x）=f（x）-g（x）=2log_a（2x+t-2）-log_ax＜0在x∈[1，4]恒成立，
∴2log_a（2x+t-2）＜log_ax，
∵0＜a＜1，x∈[1，4]，
∴只需要2x+t-2＞$\sqrt{x}$恒成立，
即t＞-2x+$\sqrt{x}$+2恒成立，
∴t＞（-2x+$\sqrt{x}$+2）_max，
令y=-2x+$\sqrt{x}$+2=-2（$\sqrt{x}$）²+$\sqrt{x}$+2=-2（$\sqrt{x}$-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{17}{8}$，x∈[1，4]，
∴（-2x+$\sqrt{x}$+2）_max=1，
∴t的取值范圍是t＞1，
（3）∵t=4，0＜a＜1，
∴函數y=|f（x）|=|2log_a（2x+2）|在（-1，-$\frac{1}{2}$）上單調遞減，在（-$\frac{1}{2}$，+∞）上單調遞增，
∵當x∈[m，n]時，函數y=|f（x）|的值域為[0，2]，且f（-$\frac{1}{2}$）=0，
∴-1＜m≤$-\frac{1}{2}$≤n（等號不同時取到），
令|2log_a（2x+2）|=2，得x=$\frac{a-2}{2}$或$\frac{1-2a}{2a}$，
又[$\frac{1-2a}{2a}$-（-$\frac{1}{2}$）]-[（-$\frac{1}{2}$）-$\frac{a-2}{2}$]=$\frac{（a-1）^{2}}{2a}$＞0，
∴$\frac{1-2a}{2a}$-（-$\frac{1}{2}$）＞（-$\frac{1}{2}$）-$\frac{a-2}{2}$，
∴n-m的最小值為（-$\frac{1}{2}$）-$\frac{a-2}{2}$=$\frac{1}{6}$，
∴a=$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了對數函數的性質以及偶函數的性質和函數恒成立問題，以及函數的最值問題，考查了學生的運算能力，屬于中檔題．