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函數(shù)f(x)對任意x∈R都有f(x)+f(1-x)=
1
2

(1)求f(
1
2
)
的值.
(2)數(shù)列{an} 滿足:an=f(0)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)+f(1)
,數(shù)列{an}是等差數(shù)列嗎?請給予證明.
分析:(1)在給出的等式中,取x=
1
2
,整理后即可得到答案;
(2)在給出等式中取x=
1
n
,得到f(
1
n
)+f(
n-1
n
)=
1
2
,把an=f(0)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)+f(1)
倒序后兩式相加求出an,然后判斷an+1-an是否為常數(shù).
解答:解:(1)由f(x)+f(1-x)=
1
2

x=
1
2
,得f(
1
2
)+f(
1
2
)=
1
2
,∴f(
1
2
)=
1
4

(2)數(shù)列{an}是等差數(shù)列.
事實上,令x=
1
n
,得f(
1
n
)+f(1-
1
n
)=
1
2

f(
1
n
)+f(
n-1
n
)=
1
2
an=f(0)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)+f(1)

an=f(1)+f(
n-1
n
)+f(
n-2
n
)+…+f(
1
n
)+f(0)

兩式相加得:
2an=[f(0)+f(1)]+[f(
1
n
)+f(
n-1
n
)]+…+[f(1)+f(0)]
=
n+1
2

an=
n+1
4
,n∈N*

an+1-an=
(n+1)+1
4
-
n+1
4
=
1
4

故數(shù)列{an}是等差數(shù)列.
點評:本題考查了等差關系的確定,考查了數(shù)列的函數(shù)特性,解答的關鍵是利用倒序相加法求得an,是中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)f(x)對任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),當x≠0時,xf(x)<0,f(1)=-2
(1)求證:f(x)是奇函數(shù);
(2)試問:在-2≤x≤2時,f(x)是否有最大值?如果有,求出最大值,如果沒有,說明理由.
(3)解關于x的不等式
1
2
f(bx)-f(x)>
1
2
f(b2x)-f(b)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x+
a
x
+a,x∈[1,+∞),且a<1
(1)判斷f(x)單調性并證明;
(2)若m滿足f(3m)>f(5-2m),試確定m的取值范圍.
(3)若函數(shù)g(x)=xf(x)對任意x∈[2,5]時,g(x)+2x+
3
2
>0恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c
(1)若f(-1)=0,試判斷函數(shù)f(x)零點個數(shù);
(2)若對任意的x1,x2∈R,且x1<x2,f(x1)≠f(x2)(a>0),試證明:
1
2
[f(x1)+f(x2)]>f(
x1+x2
2
)成立.
(3)是否存在a,b,c∈R,使f(x)同時滿足以下條件:
①對任意x∈R,f(x-4)=f(2-x),且f(x)≥0;
②對任意的x∈R,都有0≤f(x)-x≤
1
2
(x-1)2
?若存在,求出a,b,c的值,若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

若定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)對任意x,y∈(0,+∞),都有f(x•y)=f(x)+f(y),且當x>1時f(x)<0.
(Ⅰ)求f(1)的值;
(Ⅱ)判斷f(x)的單調性;
(Ⅲ)若f(2)=-1,解不等式f(x-2)+f(x)>-3.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)f(x)對任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),當x≠0時,xf(x)<0,f(1)=-2
(1)求證:f(x)是奇函數(shù);
(2)試問:在-n≤x≤n時(n∈N*),f(x)是否有最大值?如果有,求出最大值,如果沒有,說明理由.
(3)解關于x的不等式
1
2
f(bx2)-f(x)≥
1
2
f(b2x)-f(b),(b>0)

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