Question

已知函數f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+bx+c有兩個極值點x₁，x₂，若f（x₁）=x₁，則關于x的方程f²（x）+af（x）+b=0的不同實根個數為（　�。�

A．2

B．3

C．4

D．5

Answer 1

分析：由題意可得x₁、x₂是f′（x）=x²+ax+b=0的兩個不相等的實數根，可得△=a²-4b＞0，從而得到關于
x的方程f²（x）+af（x）+b=0有2個不等實數根，數形結合可得答案．

解答：解：∵函數f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+bx+c
有兩個極值點x₁，x₂，不妨假設x₁＜x₂，
∴f′（x）=x²+ax+b=0有兩個不相等的實數根，
∴△=a²-4b＞0．
由于方程f²（x）+af（x）+b=0的判別式
△′=△=a²-4b＞0，
故此方程有兩解為 f（x）=x₁或f（x）=x₂．
由于函數y=f（x）的圖象和直線y=x₁的交點個數
即為方程f（x）=x₁ 的解個數；
由于函數y=f（x）的圖象和直線y=x₂ 的交點個數，即為方程f（x）=x₂的解個數．
根據f（x₁）=x₁，畫出圖形，如圖所示：
由于函數y=f（x）的圖象和直線y=x₁的交點個數為2，函數y=f（x）的圖象和直線y=x₂ 的交點個數為1，
可得關于x的方程f（x）=x₁或f（x）=x₂共有3個不同的實數根，
即關于x的方程f²（x）+af（x）+b=0的不同實根個數為3．
故選 B．

點評：本題綜合考查了函數零點的概念，函數的極值及方程解得個數等基礎知識，考查了數形結合的思想方法、推理能力、分類討論的思想方法、計算能力、分析問題和解決問題的能力．