設數列
的各項均為正數，其前n項的和為
，對于任意正整數m,n, 
恒成立.
(Ⅰ)若
=1,求
及數列的通項公式;
(Ⅱ)若
,求證:數列是等比數列.
(Ⅰ) 
，
，
；(Ⅱ)參考解析
【解析】
試題分析：(Ⅰ)通過令
，可求得
.同理可以求出
.由于所給的等式中有兩個參數m,n.所以以一個為主元，讓另一個m=1,和m=2取特殊值通過消去
即可得到一個關于
與
的遞推式.從而可求出
的通項式，從而通過
，可求出通項
.但前面兩項要驗證是否符合.
(Ⅱ)因為已知
，所以令
.即可求得
與
的關系式.再利用
.又得到了一個關于
與
的關系式.從而可得
與
的關系式.又根據
與
.可求出
.再根據及
.即可求出結論.最后要驗證前兩項是否成立.
試題解析：（1）由條件，得
①
在①中，令
，得
②
令
，得
③
③/②得
，記，則數列
是公比為
的等比數列。
④
時，
， ⑤
④-⑤，得
，當n≥3時，{
}是等比數列.
在①中，令
，得
，從而
，則
，所以
.
又因為
，所以 2分
在①中，令
，得
，則
⑥
在①中，令
，得
，則
⑦
由⑥⑦解得： 6分
則
，由
得
又，也適應上式，所以. 8分
（2）在①中，令
，得
，則
，所以
；
在①中，令
，得
，則
，所以
，則
，
；代入式，得 12分
由條件
得
又因
,所以
故
，
因為，也適應上式，所以
所以數列
是等比數列． 14分
考點：1.數列的遞推思想.2.數列通項與前n項和的轉化關系.3.歸納推理的思想.4.消元方程化簡的能力.
科目：高中數學 來源：2012-2013學年山東省濟寧市高三上學期期末模擬理科數學試卷（解析版） 題型：選擇題
設數列
的各項均為正數，前
項和為
，對于任意的
，
成等差數列，設數列
的前項和為
，且
，則對任意的實數
（
是自然對數的底）和任意正整數，小于的最小正整數為（ ）
A．
B．
C．
D．
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科目：高中數學 來源：2014屆江蘇南通市高一下學期期中數學試卷（解析版） 題型：解答題
設數列
的各項均為正數.若對任意的
，存在
，使得
成立，則稱數列為“Jk型”數列．
（1）若數列是“J2型”數列，且
，
，求
；
（2）若數列既是“J3型”數列，又是“J4型”數列，證明：數列是等比數列.
【解析】1）中由題意，得
，
，
，
，…成等比數列，且公比
，
所以．
（2）中證明：由{
}是“j4型”數列，得
，…成等比數列，設公比為t. 由{}是“j3型”數列，得
，…成等比數列，設公比為
；
，…成等比數列，設公比為
；
…成等比數列，設公比為
；
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科目：高中數學 來源：2010-2011學年吉林省高三沖刺考試數學文卷 題型：解答題
（本小題滿分12分）
設數列
的各項均為正數，若對任意的正整數
，都有
成等差數列，且
成等比數列．
（Ⅰ）求證數列
是等差數列；
（Ⅱ）如果
，求數列錯誤！不能通過編輯域代碼創建對象。的前錯誤！不能通過編輯域代碼創建對象。項和。
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的各項均為正數，若對任意的正整數
，都有
成等差數列，且
成等比數列．
是等差數列；
，求數列
的前