Question

1．ABC 是邊長為6的等邊三角形，P 為空間一點，PA=PB=PC，P到平面ABC距離為$\sqrt{3}$，則 PA與平面ABC 所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 畫出圖形，過P作底面ABC 的垂線，垂足為O，連接AO并延長交BC于E，說明∠PAO為所求，然后再通過求三角形PAO的邊長即可求出答案．

解答 解：過P作底面ABC 的垂線，垂足為O，連接AO并延長交BC于E，
因為P為邊長為6的正三角形ABC所在平面外一點且PA=PB=PC，P到平面ABC距離為$\sqrt{3}$，
所以O是三角形ABC 的中心，
且∠PAO就是PA與平面ABC所成的角，
∵AO=$\frac{2}{3}$AE=$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×6$=2$\sqrt{3}$．
且PCA=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{15}$，
∴sin∠PAO=$\frac{PO}{PA}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{15}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$；
即PC與平面ABC所成的角正弦函數值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$

點評 本題考查三垂線定理，點、線、面間的距離，直線與平面所成角的求法，考查學生計算能力，邏輯思維能力，是中檔題．