Question

若f（x）=x²+bx+c，且f（1）=0，f（3）=0．
（1）求b與c的值；
（2）試證明函數y=f（x）在區間（2，+∞）上是增函數；
（3）求f（x）在[0，5）上的值域．

Answer 1

分析：（1）根據條件分別求出b，c，
（2）利用二次函數的圖象和性質求出函數的對稱軸即可．
（3）根據函數對稱軸和區間的關系即可求出函數的值域以及函數的最值．

解答：解：（1）∵二次函數f（x）=x²+bx+c，f（1）=0，f（3）=0．
∴1+b+c=0且9+3b+c=0，
解得b=-4，c=3．
（2）∵b=-4，c=3．
∴f（x）=x²+bx+c=x²-4x+3=（x-2）²-1，
則對稱軸為x=2，
∴函數y=f（x）在區間（2，+∞）上是增函數；
（3）∵f（x）=x²-4x+3=（x-2）²-1的對稱軸為x=2，
∴當x=2時，函數取得最小值-1，
當x=5時，函數取得最大值f（5）=8，
故-1≤f（x）≤8，
即函數的值域為[-1，8]．

點評：本題主要考查二次函數的圖象和性質，利用待定系數法求出函數的解析式是解決本題的關鍵，利用配方法，結合對稱軸和定義區間的關系即可求函數的最值．